Page 30 - MATeMAtyka 1. Podręcznik

Warto wiedzieć

Zastosowanie wartości bezwzględnej w dowodach

Przykład 1

√ 2 √

Wykaż, że liczba a = 2 − 3 2 − 3 2jestcałkowita.

√ 2 √ √

Zauważ, że 2 − 3 2 = |2 − 3 2| =3 2 − 2.
√ √
Stąd a =3 2 − 2 − 3 2= −2, czyli a ∈ Z.
Przykład 2
√ √

Wykaż, że liczba 11 − 6 2+ 2jestcałkowita.
√
Wyrażenie 11 − 6 2 próbujemy zapisać jako kwadrat różnicy:
√ 2 √ √ √

1 − 2 =1 − 2 2+2 = 3 − 2 2 =11 − 6 2
√ 2 √ √ √

1 − 3 2 =1 − 6 2+18 = 19 − 6 2 =11 − 6 2
√ 2 √ √

3 − 2 =9 − 6 2+2 = 11 − 6 2
√ √ √ 2 √ √ √ √
√
11 − 6 2+ 2= 3 − 2 + 2= 3 − 2 + 2=3 − 2+ 2=3,

czyli dana liczba jest całkowita.
Przykład 3
√ √

Wykaż, że liczba a = 4+ 2 3 − 4 − 2 3jestwymierna.
Aby rozwiązać to zadanie, możemy postąpić na różne sposoby.
Obliczamy kwadrat liczby a:
2

√ √
2
a = 4+2 3 − 4 − 2 3 =
√ √ √ √
=4 + 2 3 − 2 (4 + 2 3)(4 − 2 3) + 4 − 2 3=
√
=8 − 2 16 − 12 = 8 − 4=4
Ponieważ a> 0, otrzymujemy a = 2–jest toliczbawymierna.
√ √ √ √
2
2
Zauważamy, że 4 + 2 3=( 3+1) oraz 4 − 2 3= ( 3 − 1) , czyli:
√ √ √ √ √ √

2
2
a = ( 3+ 1) − ( 3 − 1) = | 3+1|−| 3−1| = 3+1−( 3−1) = 2,
co oznacza, że a jest liczbą wymierną.
1. Wykaż, że:
√ √ √ √

a) 7+4 3+ 12 − 6 3=5, c) 3 11 + 6 2 − 19 − 6 2 = 10,
√ √ √ √ √

b) 6 − 2 5 − 9 − 4 5=1, d) 5+2 6+ 5 − 2 6= 2 3.

94 2. Język matematyki